伏見関数と密度行列のQ表示についての覚書

    量子統計力学における基本的概念はvon Neumanによって導入された密度行列ρ(q,q’)である。von Neuman自身は混合状態だけでなく純粋状態にも適用される概念として導入している。密度行列は配位空間に足を持つ行列である。密度行列をWigner-Weyl変換して作ったものW(P,Q)をWigner関数と呼ぶ。これは位相空間上で定義されており、古典統計力学における分布関数との対応が見やすい。しかし、Wigner関数は正定値性を満たさず正規の分布関数としての資格を持たないので、擬分布関数と呼ばれる。Weyl変換は表示の変更であり、量子力学の内容としては等価である。したがって、量子力学の不確定性関係により座標と運動量が同時に確定した値を持つ状態は存在しないのだからWigner関数が正定値性を持たないのは当然のことであると理解される。 

   1940年、伏見康治は「密度行列のいくつかの形式的性質:Some Formal Properties of the Density Matrix」という論文を書いた。これは当時30歳の著者の学位論文となった。この論文では、有限温度の量子系を扱う数学的手段として密度行列が取り上げられ、その数学的な性質や古典極限が議論された。その中で現在「伏見関数」と呼ばれる統計物理学上の重要概念が初めて導入された。すなわち、量子-古典対応を議論するなかで、(A)位置座標Qと運動量Pを持つ最小波束を導入し、量子力学の許す範囲での正準座標と運動量の不確定性の範囲で密度行列ρ (q,q’)を平均化(疎視化)し、位相空間での分布H(P, Q)を導入している。伏見はこれを「古典分布関数」と呼びρcl(PQ)と書いているが、これがまさしく現在「伏見関数(Husimi function)」と呼ばれるものの最初の出現であった。伏見がこれを「古典分布関数」と呼んだ理由は、Planck定数ℎをゼロに取る極限でこの分布関数がMaxwell-Boltzmannの古典分布関数に一致し得るからであった。

 (A)の最小波束による平均化は現代の用語ではコヒーレント状態表示を取ることと等価であり、コヒーレント状態の概念の一般化により伏見関数の一般化が可能となる。また、伏見の行った粗視化の作業は純粋状態にも適用でき、それはWigner関数を疎視化することに対応する。さらにそれはWigner関数が特異的になる位相空間の領域、すなわち、次の不確定性関係  

                 ΔQΔP=h/4π

で与えられる位相空間の範囲について疎視化しているため、伏見関数は(半)正定値性を獲得している。

   伏見関数がWigner関数の最小波束で「平均化」してものであることを明示的に示しているのは、たとえば、Takahashi and N. Saito, Phys. Rev. Lett. 55, (1985), 645;Prugovecki, Ann. Phys. (N. Y.) 110, (1978), 102.; Weissman and J. Jortner, J. Chem. Phys. 77 (1982), 1486.

    コヒーレント状態を顕に用いた密度関数のQ表示の最初の提案は量子光学の文脈で加野泰によって行われた(Yutaka. Kano, J. Math. Phys. 6, (1965), 1913)。加野はここでコヒーレント状態を用いたQ関数の顕な表式Q=<α|ρ|α>/πを与えている。しかし、Q表示と伏見関数との関係は言及されていない。現在ではこの表式も「伏見のQ表示」と呼ぶことがあるが、歴史的には正しくない。「加野のQ表示」あるいは「伏見-加野のQ表示」と呼ぶのがより適切ではないだろうか。

 伏見関数とこの量子光学で使われるQ表示が明示的に同一のものとする認識はTakahashi, J. Phys. Soc. Jpn., 55 (1986), 762.

一般の半単純リー群のコヒーレント状態(A. Perelomov)へ伏見関数の概念を拡張したのは、Karol Zyczkowski, Phys. Rev. A 35 (1987), 3546、である。それを用いて、杉田歩は伏見関数の2次のモーメントの顕な表式を与えた:A.Sugita, J. Phys. A: Math. Gen. 36 (2003), 9081.

 伏見関数が非負のために半古典的な分布関数としての意味を獲得し、エントロピー的な量を定義し議論することができる。それはWehrlによって導入されたのでWehrlエントロピーと呼ばれている(A. Wehrl,, Rev. Mod. Phys. 50 (1978), 221)。Wehrl自身は「古典エントロピー」と呼んでいる。

 伏見関数は量子-古典対応が問題となる課題において有用な手段として使われている。たとえば、量子系における(古典力学でよく定義された概念である)カオス性の記述に有用である。たとえば、「量子リャプーノフ指数」なるものも定義されている:M. Toda and K. Ikeda, Phys. Lett. A 124(1987),165. 上記、杉田のモーメントの計算も量子カオスを定義する試みのなかで行われた。 

  この論文を書いたとき伏見は1932年にできたばかりの大阪帝国大学物理学教室の30歳の若い助教授であった。この論文をもとに学位を取得し1940年に教授に昇任した。このときの当物理学教室の主任教授は八木・宇田アンテナで有名な八木秀次である。また、1949年に「中間子論」でノーベル物理学賞を取る湯川秀樹は少し年長の同僚だった。伏見は湯川がその共同研究者の坂田昌一(後に、武谷三男小林稔も加わる)と中間子論を作り発展させていくのを間近に見ていた。伏見自身は形式上、(海外留学中の)友近晋教授(流体力学)の研究室所属であったが、原子核実験物理学の菊池正士の指揮下で青木(熊谷)寛夫とともに原子核物理学の研究を盛んに行いながら理論研究も行っていた。また、伏見論文の出た1940年には後に一般ゲージ理論を創始した内山龍雄が大阪大学を卒業し副手に就任した。できたばかりの大阪帝国大学物理教室は綺羅星のような研究者が互いに競い合い世界をリードする成果を世に問うていたかのようである。

                                                                                            2017年5月29日記